Вы прежде чем отвечать, на дату поста посмотрели бы. Все давно сделано и уже не является актуальным.
Все ваши сообщения всегда сохраняются и никто кроме вас их не удаляет. В личном кабинете, в разделе "Сообщения" выбирайте из списка "Показывать сообщения от" того с кем общаетесь и вы увидите всю вашу переписку, включая ваши ему письма.

Не наблюдаем такого "дефекта". Курсор всегда стоит там где его оставили. Если только у вас еще каких-то фоновых программ не работает, которые иногда перехватывают управление.

И вторая проблема : когда через телефон захожу на ваш сайт ( андроид ) и хочу оставить сообщение в теме на форуме, я нажимаю "добавить сообщение", а меня выкидывает на главную страницу форума...

Пользователя выбираете, нажимая на его ник в списке сообщений или выбирая его ник через селектор "Показывать сообщения от: "?
Вторая проблема скорее зависит от вида и версии используемого браузера. Не гарантируется работа этого механизма (оставление сообщения), потому что для форматирования текста используется редактор на яве-скрипте, а с ним у некоторых браузеров на Андроиде проблемы с совместимостью.

"Пользователя выбираете, нажимая на его ник в списке сообщений или выбирая его ник через селектор "Показывать сообщения от: "?" я вот так как раз таки и делаю, но к сожалению он не переходит.

Так и осталось загадкой какой способ был выбран для перехода на сообщения. Вопрос был: "Первый способ или второй?". Прозвучал ответ: "Да"!

Ой, простите пожалуйста, я не так прочитал) Второй способ

Сейчас не должно быть обеих проблем. Проверьте.